Question

如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的大小；

（3）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）证明：连结交于，连结，因为三棱柱是正三棱柱，

所以四边形是矩形，所以为的中点．因为是的中点，所以是三角形的中位线，所以∥．   因为平面，平面，所以∥平面．

（2）解：作于，所以平面，所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系．因为，，是的中点．所以，，，，所以，，

．设是平面的法向量，所以即令，则，，所以是平面的一个法向量．由题意可知是平面的一个法向量，  所以．  所以二面角的大小为． 

（3）设，则，设平面的法向量，所以即

令，则，， ，又，即，解得，所以存在点，使得平面平面且．