Question

如图，棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P为DD₁中点，O₁、O₂、O₃分别是面A₁C₁、面BC₁、面AC的中心.

(1)求证：B₁O₃⊥PA；

(2)求异面直线PO₃与O₁O₂所成角的余弦值；

(3)求PO₂的长.

Answer 1

(1)证明：以D为坐标原点，DA、DB、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系D—xyz,

则A(1,0,0)、B₁(1,1,1)、P(0,0,)、O₃(,,0)，

∴=(-,-,-1),=(1,0,-).?

∴·=-×1-×0-1×(-)=0.?

∴v⊥.∴B₁O₃⊥PA.?

(2)解析：∵O₁(,,1),O₂(,1,),?

∴=(0,,-).

又=(,,-),设与夹角为θ,

∴cosθ====.

∴异面直线PO₃与O₁O₂所成角的余弦值为.

(3)解析：∵P(0,0,),O₂(,1,),

∴||=,故PO₂的长为.