题目内容
10、设f （x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）?
分析：先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（-3）=0可求得答案．
解答：
解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，?
∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．
∴F（x）在R上为增函数．?
∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g （x）．?=-F（x）．?
故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．?
∴F（x）在R+上亦为增函数．?
已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．?
构造如图的F（x）的图象，可知
F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．?
故选D
解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，?∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．
∴F（x）在R上为增函数．?
∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g （x）．?=-F（x）．?
故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．?
∴F（x）在R+上亦为增函数．?
已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．?
构造如图的F（x）的图象，可知
F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．?
故选D
点评：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．
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