题目内容

函数f（x）=Asin（ωx- $数学公式$ ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $数学公式$ ，
（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（2）设a∈（0， $数学公式$ ），则f（ $数学公式$ ）=2，求a的值．

解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，∴A+1=3，即A=2-----（1分）
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ，∴最小正周期T=π，∴ω=2．------（3分）
所以f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）+1．------（4分）
令 $\text{[math]}$ ，即　 $\text{[math]}$ ，
∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调减区间为 $\text{[math]}$ ．-----（8分）
（Ⅱ）∵f（ $\text{[math]}$ ）=2sin（α- $\text{[math]}$ ）-1=2，即 sin（α- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，------（9分）
∵0＜α＜ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ＜α- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，∴α- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴α= $\text{[math]}$ ．------（12分）
分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，从而得到函数的解析式为f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）+1．令 $\text{[math]}$ ，求得x的范围，即可求得f（x）的单调减区间．
（2）由 f（ $\text{[math]}$ ）=2求得sin（α- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，再由 α- $\text{[math]}$ 的范围求得 α- $\text{[math]}$ 的值，可得a的值．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，属于中档题．