Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时f（x）-xf′（x）＞0且f（2）=0，则（x-3）f（x）＞0的解集为

 

．

Answer 1

分析：由条件判定F（x）=

f(x)

x

的导数小于0，从而得F（x）在[0，+∞）上是减函数；又可判定F（x）是偶函数，得F（x）在（-∞，0]上是增函数，且f（-2）=f（2）=0，从而求得（x-3）f（x）＞0的解集．

解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
又∵x＞0时，f（x）-xf′（x）＞0，
∴设F（x）=

f(x)

x

（x＞0），则F′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

；
∴F′（x）＜0，∴F（x）是（0，+∞）上的减函数．
又F（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=

f(x)

x

=F（x），
∴函数F（x）是R上的偶函数．
∴函数F（x）=

f(x)

x

是（-∞，0）上的增函数．
又f（2）=0，∴F（-2）=F（2）=0；
∴0＜x＜2，或-2＜x＜0时，F（x）＞0，即f（x）、x同号；
x＞2，或x＜-2时，F（x）＜0，即f（x）、x异号；
∴（x-3）f（x）＞0的解集为（-2，0）∪（2，3）；
故答案为：（-2，0）∪（2，3）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与解不等式的问题，解题的关键是合理地构造函数，转化题中的条件，是易错题．