Question

【题目】已知椭圆 的焦距为，斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，且直线的斜率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点 为椭圆上一点，且满足，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 为定值.过程见解析.

【解析】分析：（1）焦距说明，用点差法可得＝.这样可解得，得椭圆方程；

（2）若，这种特殊情形可直接求得，在时，直线方程为，设，把直线方程代入椭圆方程，后可得，然后由纺长公式计算出弦长，同时直线方程为，代入椭圆方程可得点坐标，从而计算出，最后计算即可.

详解：（1）由题意可知，设，代入椭圆可得：

，两式相减并整理可得，

，即.

又因为，，代入上式可得，.

又，所以，

故椭圆的方程为.

（2）由题意可知，，当为长轴时，为短半轴，此时

；

否则，可设直线的方程为，联立，消可得，

，

则有：，

所以

设直线方程为，联立，根据对称性，

不妨得，

所以.

故，

综上所述，为定值.