题目内容

14．已知方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示的曲线为C，给出以下四个判断：
①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆；
②当t＞4或t＜1时曲线C表示双曲线；
③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜$\frac{5}{2}$；
④若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则t＞4，
其中判断正确的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4

分析 利用椭圆、双曲线的定义，结合标准方程，即可得出结论．

解答 解：由4-t=t-1，可得t=$\frac{5}{2}$，方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示圆，故①不正确；
由双曲线的定义可知：当（4-t）（t-1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1示双曲线，故②正确；
由椭圆定义可知：当椭圆在x轴上时，满足4-t＞t-1＞0，即1＜t＜$\frac{5}{2}$时方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，故③正确．
若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则$\left\{\begin{array}{l}{4-t＞0}\\{t-1＜0}\end{array}\right.$，∴t＜1，故④不正确，
故选：B．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程，尤其要注意椭圆在x轴和y轴上两种情况，属于基础题．

练习册系列答案
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