Question

已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x），且当x≤1时，f（x）=|1-a^x|（a＞1），又数列{a_n}中，，且a_n+3=a_n，n∈N^*，则有

1. A.
   f（a₂₀₁₀）＜f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₁）
2. B.
   f（a₂₀₁₁）＜f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₀）
3. C.
   f（a₂₀₁₀）＜f（a₂₀₁₁）＜f（a₂₀₀₉）
4. D.
   f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₀）＜f（a₂₀₁₁）

Answer 1

B
分析：先根据数列的周期性，分别计算a₂₀₁₀，a₂₀₀₉，a₂₀₁₁的值，并利用函数的对称性将三个值化到同一区间（0，1）上，再利用函数图象得函数f（x）在（0，1）上的单调性，利用单调性比较大小即可
解答：∵a_n+3=a_n，∴数列{a_n}为周期为3的周期数列，∴a₂₀₁₀=a_3×670=，a₂₀₀₉=，a₂₀₁₁=
∴f（a₂₀₁₁）=f（），f（a₂₀₀₉）=f（）=f（2-）=f（），f（a₂₀₁₀）=f（）
∵f（x）=f（2-x），∴函数f（x）的图象关于x=1对称，又∵当x≤1时，f（x）=|1-a^x|（a＞1），故函数f（x）的图象如图：
函数f（x）在（0，1）上为增函数，
∵＜＜，∴f（）＜f（）＜f（）
即f（a₂₀₁₁）＜f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₀）
故选 B
点评：本题考查了函数的对称性，函数的单调性，指数函数的图象和性质，数列的周期性，及里用单调性比较大小的方法