题目内容

设z1=1-cosθ+isinθ,z2=()2+i,问在(0,2π)内是否存在θ,

       (1)使z1-z2为实数?

       (2)使z1-z2为纯虚数?

      

解析:(1)∵z1-z2=1-cosθ-()2+(sinθ-)i,?

       ∴若z1-z2为实数,则sinθ-=0.?

       ∴sinθ=0或=1,?

       即sinθ=0或cosθ=0.?

       又∵θ∈(0,2π),?

       ∴θ=π或θ=或θ=.?

       故存在θ=,π, ,使z1-z2为实数.?

       (2)若z1-z2为纯虚数,则?

       1-cosθ-()2=0,①?

       且θ≠π且θ≠,θ≠,?

       解①得3cos2θ-3cosθ=0,∴cosθ=0.?

       ∴θ=或.      又θ≠且θ≠,?∴这样的θ不存在.

练习册系列答案
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设z1=1-cosθ+isinθ，z2=a2+ai（a∈R），若z1z2≠0，z1z2-
.
z1z2
=0，问在（0，2π）内是否存在θ使（z1-z2）2为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
设z1=1-cosθ＋isinθ，z2=a2＋ai(a∈R).若z1·z2是纯虚数，问在(0，2π)内是否存在θ使(z1-z2)2是实数？

(本题14分)阅读：设Z点的坐标(a, b)，r=||，θ是以x轴的非负半轴为始边、以OZ所在的射线为终边的角，复数z=a+bi还可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，这个表达式叫做复数z的三角形式，其中，r叫做复数z的模，当r≠0时，θ叫做复数z的幅角，复数0的幅角是任意的，当0≤θ<2π时，θ叫做复数z的幅角主值，记作argz．

根据上面所给出的概念，请解决以下问题：

(1)设z=a+bi =r(cosθ+isinθ) (a、bÎR，r≥0)，请写出复数的三角形式与代数形式相互之间的转换关系式；

(2)设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，探索三角形式下的复数乘法、除法的运算法则，请写出三角形式下的复数乘法、除法的运算法则．(结论不需要证明)
设z1=1-cosθ+isinθ，z2=a2+ai（a∈R），若z1z2≠0，z1z2-=0，问在（0，2π）内是否存在θ使（z1-z2）2为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

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