Question

【题目】设函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若函数在区间上存在唯一零点，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）分别在和两种情况下根据导函数的正负得到单调性，根据极值的定义可求得对应的极值；

（2）当时，分别在上存在唯一零点和为零点两种情况下，结合零点存在定理得到的范围；当时，结合函数的单调性，可知，通过讨论的位置确定对应端点值的符号，从而得到不等式组，解不等式组求得结果；综合两种情况可得最终结果.

（1）由题意得：.

①当时，恒成立，在上单调递增，此时无极值；

②当时，令，解得：，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

在处取得极小值，极小值为，无极大值.

综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.

（2）①当时，由（1）知，在上单调递增，

若在上存在唯一零点，则，即，

解得：.

若是在上的唯一零点，则，解得：（舍）.

②当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，

.

，

若在上存在唯一零点，则或或，

解得：.

综上所述：的取值范围为.