Question

已知f(x)=xlnx，g(x)=-x²+ax-3，
（1）求函数f(x)在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞成立。

Answer 1

解：（1）由已知知函数f(x)的定义域为（0，+∞），f′(x)=lnx+1，
当单调递减，当单调递增，
①，没有最小值；
②，即时，；
③，即时，f(x)在[t，t+2]上单调递增，；
所以；
（2），则，
设，则，
①单调递减，
②单调递增，
所以，对一切恒成立，
所以；
（3）问题等价于证明，
由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，
易知，当且仅当x=1时取到，
从而对一切x∈（0，+∞），都有成立。