Question

已知a∈R，函数f(x)=xln(-x)+(a-1)x，（注：[ln(-x)] ′=）
（Ⅰ）若f(x)在x=-e处取得极值，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[-e²，-e^-1]上的最大值g(a)。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由题意知x=-e时，，即：， ∴a=-1，
∴，
令，可得x=-e；
令，可得x＜-e；
令，可得-e＜x＜0；
∴f（x）在（-∞，-e）上是增函数，在（-e，0）上是减函数。
（Ⅱ），

∴，
①若a≥1，则恒成立，此时f（x）在上是增函数，
；
②若a≤-2，则恒成立，此时f（x）在上是减函数，
 ；
③若-2＜a＜1，则令，可得，
∵是减函数，
∴当时，；当时，，
∴f（x）在上左增右减，
∴；
综上：。