Question

如图，在平面直角坐标系中，以Ox轴为始边作两锐角α，β，它们终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B横坐标分别为

7

10

2

，

3

10

10

．
（1）求tan∠AOB
（2）求α+2β的值．

Answer 1

分析：（1）由单位圆上点A与B的横坐标，求出各自的纵坐标，确定出A与B坐标，进而求出tanα与tanβ的值，所求式子中的角度变形为β-α，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）根据A与B的坐标，求出sinα，cosα，sinβ，cosβ的值，确定出cos2β与sin2β的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（α+2β），将各自值代入求出cos（α+2β）的值，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的度数．

解答：解：（1）∵单位圆上的点A，B横坐标分别为

7 2

10

，

3 10

10

，
∴A，B纵坐标分别为

2

10

，

10

10

，即A（

7 2

10

，

2

10

），B（

3 10

10

，

10

10

），
∴tanα=

1

7

，tanβ=

1

3

，
∴tan∠AOB=tan（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

1 3 - 1 7

1+ 1 3 × 1 7

=

2

11

；
（2）由A与B的坐标，得到sinα=

2

10

，cosα=

7 2

10

，sinβ=

10

10

，cosβ=

3 10

10

，
∴sin2β=2sinβcosβ=

3

5

，cos2β=cos²β-sin²β=

9

10

-

1

10

=

4

5

，
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=

7 2

10

×

4

5

-

2

10

×

3

5

=

2

2

，
∵tanα=

1

7

＜1，tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

3

4

＜1，
∴0＜α＜

π

4

，0＜2β＜

π

4

，即0＜α+2β＜

π

2

，
则α+2β=

π

4

．

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．