Question

如图，几何体P-ABCD为正四棱锥，几何体Q-PCB为正四面体．
（1）求证：PC⊥DQ；
（2）求QD与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证明一：取BQ的中点M，连接PM，CM，证明BQ⊥平面PCM，可得BQ⊥PC，进而证明BD⊥平面POC，可得BD⊥PC，利用线面垂直的判定，可得PC⊥平面BDQ，从而PC⊥DQ．
证明二：取PC的中点N，连接DN，BN，QN，则∠BND是二面角B-PC-D的平面角，∠BNQ是二面角B-PC-Q的平面角，利用余弦定理，可得P，Q，C，D四点共面，四边形PQCD为菱形，从而PC⊥DQ．
（2）由V_P-ACD=V_C-APD得点C到平面PAD的距离，进而可求QD与平面PAD所成角的正弦值；
证明三：（1）建立空间直角坐标系．不妨设|OB|=1，求出Q的坐标，利用向量的数量积为0，可得PC⊥DQ；
（2）求出面PAD的一个法向量

n2

=(-1，-1，1)，利用向量的夹角公式，可求QD与平面PAD所成角的正弦值．

解答：（1）证明一：取BQ的中点M，连接PM，CM，由几何体Q-PCB为正四面体得，CM⊥BQ，PM⊥BQ，所以BQ⊥平面PCM，从而BQ⊥PC．
连接BD，DC交于点O，连接PO得PO⊥平面ABCD，BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面POC，
从而BD⊥PC．
又BQ⊥PC，BD∩BQ=B，所以PC⊥平面BDQ，从而PC⊥DQ．
证明二：因为几何体P-ABCD为正四棱锥，几何体Q-PCB为正四面体．
故可设PA=PB=PC=PD=PQ=QC=QB=AB=BC=CD=DA=a，
取PC的中点N，连接DN，BN，QN，由题意知DN⊥PC，BN⊥PC，QN⊥PC，
故∠BND是二面角B-PC-D的平面角，∠BNQ是二面角B-PC-Q的平面角，
在△BND中，DN=BN=

3

2

a，BD=

2

a，
所以cos∠BND=

( 3 2 a)2+( 3 2 a)2-( 2 a)2

2( 3 2 a)( 3 2 a)

=-

1

3

，
在△BNQ中，QN=BN=

3

2

a，BQ=a，
所以cos∠BND=

( 3 2 a)2+( 3 2 a)2-a2

2( 3 2 a)( 3 2 a)

=

1

3

从而∠BND+∠BNQ=π，从而P，Q，C，D四点共面，
故四边形PQCD为菱形，从而PC⊥DQ．
（2）由证明二知四边形PQCD为菱形，于是DQ=

3

a，QC∥PD，
所以点Q到平面PAD的距离等于点C到平面PAD的距离，
设点C到平面PAD的距离为h，由V_P-ACD=V_C-APD得：

1

3

S△PAD•h=

1

3

S△CAD•PO
进而得h=

6

3

a，所以QD与平面PAD所成角的正弦值=

h

DQ

=

6 3 a

3 a

=

2

3

证明三：如图，以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．
不妨设|OB|=1，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（-1，0，0），A（0，-1，0）
因为Q-PCB为正四面体，所以△PCB为正三角形，所以|PC|=|BC|=

2

，所以|OP|=1，因此P（0，0，1）．
设△PCB的重心为M，则QM⊥面PCB，又O-PCB也为正三棱锥，因此OM⊥面PCB，因此O、M、Q三点共线，所以OQ垂直面PCB，即

OQ

是平面PCB的一个法向量，
由

PB

=(1，0，-1)，

PC

=(0，-1，1)，∴平面PCB的一个法向量可以取

n1

=(a，a，a)，
所以不妨设Q（a，a，a），则

PQ

=(a，a，a-1)，
因为|

PQ

|=

a2+a2+(a-1)2

=

2

，解得a=1，所以Q（1，1，1）．
（1）

PC

=(0，-1，1)，

DQ

=(2，1，1)，

PC

•

DQ

=0，所以PC⊥DQ；
（2）设面PAD的一个法向量为

n2

=(x，y，z)，

PD

=(-1，0，-1)，

PA

=(0，-1，-1)，由

n2 • PD =0 n2 • PA =0

解得一个法向量

n2

=(-1，-1，1)，
所以cos＜

n2

，

QD

＞=

n2 • DQ

| n2 || DQ |

=

-2

3 2

=-

2

3

，
所以QD与平面PAD所成角的正弦值为

2

3

．

点评：本题考查线线垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决空间角问题，属于中档题．