Question

如图，已知三棱锥P-ABC的侧面PAC是底角为45°的等腰三角形，PA=PC，且该侧面垂直于底面，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，B₁C₁=3．
（1）求证：二面角A-PB-C是直二面角；
（2）求二面角P-AB-C的正切值；
（3）若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体ABC-A₁B₁C₁，求几何体ABC-A₁B₁C₁的侧面积．

Answer 1

分析：（1）欲证平面PAB⊥平面PBC，根据面面垂直的判定定理可知在平面PAB内一直线与平面PBC垂直，而根据题意可得PA⊥平面PBC，从而得到平面PAB⊥平面PBC，即二面角A-PB-C是直二面角；
（2）作DE⊥AB，E为垂足，则PE⊥AB，根据二面角平面角的定义可知∠PED是二面角P-AB-C的平面角，根据Rt△ADE～Rt△ABC可求出所求角的正切值；
（3）欲求几何体ABC-A₁B₁C₁的侧面积，而S_ABC-A1B1C1=

3

4

S_三棱锥，可分别求出三棱锥的三个侧面面积即可．

解答：证明：（1）如图，在三棱锥P-ABC中，取AC的中点D．
由题设知△PAC是等腰直角三角形，且PA⊥PC．
∴PD⊥AC．
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC，
∵AC⊥BC∴PA⊥BC，∴PA⊥平面PBC，
∵PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC，
即二面角A-PB-C是直二面角．
解（2）作DE⊥AB，E为垂足，则PE⊥AB．
∴∠PED是二面角P-AB-C的平面角．
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，则AC=8，PD=4
由Rt△ADE～Rt△ABC，得DE=

BC•AD

AB

=

6×4

10

=

12

5

，
∴所求正切为tan∠PED=

PD

DE

=

5

3

．
（3）∵B1C=3=

1

2

BC∴A₁，B₁，C₁分别是PA，PB，PC的中点．
∴S△PAC=

1

2

×8×4=16，
S△PBC=

1

2

×6×4

2

=12

2

．
∵PE=

PD2+DE2

=

16+ 144 25

=

4

5

34

，
S△PAB=

1

2

×10×

4

5

34

=4

34

．
∴S_棱锥侧=S△PAB+S△PBC+S△PCA=4

34

+12

2

+16，
∴几何体ABC-A₁B₁C₁的侧面积
S几何体=

3

4

S棱锥侧=3

34

+9

2

+12．

点评：本题主要考查了二面角及其度量，以及棱台的侧面积和表面积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．