Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+b最多只有一个交点；
（3）设g(x)=log4(a•2x-

4

3

a)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，构造函数y=log₄（4^x+1）-x，分析出函数的单调性及值域，根据函数零点的判定方法，我们易确定b取不同值时，函数零点个数，进而得到答案．
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，化简可得 2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一个实根，令t=2^x＞0，则转化才方程 (a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一个正根，讨论a=1，以及△=0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=-

1

2

证明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x
令y=log₄（4^x+1）-x
由于y=log₄（4^x+1）-x为减函数，且恒为正
故当b＞0时，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+b有一个交点，
当b≤0时，y=log₄（4^x+1）-x-b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+b没有交点
故对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+b最多只有一个交点；
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点
即方程 log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x-

4

3

a)有且只有一个实根
化简得：方程 2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一个实根
令t=2^x＞0，则方程 (a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一个正根
①a=1⇒t=-

3

4

，不合题意；
②△=0⇒a=

3

4

或-3
若 a=

3

4

⇒t=-

1

2

，不合题意；若 a=-3⇒t=

1

2

③若一个正根和一个负根，则

-1

a-1

＜0，即a＞1时，满足题意．
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=-3}

点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，由于综合考查了多个函数的难点，属于难题．