题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知抛物线C：
（
）的焦点F在直线
上，平行于x轴的两条直线
，
分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若F在线段
上，P是
的中点，证明：
.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）根据抛物线的焦点在直线
上，可求得
的值，从而求得抛物线的方程；
（2）法一：设直线
，
的方程分别为
和
且
，
，
，可得
，
，
，
的坐标，进而可得直线
的方程，根据
在直线上，可得
，再分别求得
，
，即可得证；法二：设
，
，则
，根据直线的斜率不为0，设出直线的方程为
，联立直线和抛物线
的方程，结合韦达定理，分别求出，，化简
，即可得证.
（1）抛物线C的焦点坐标为
，且该点在直线上，
所以
，解得
，故所求抛物线C的方程为
（2）法一：由点F在线段上，可设直线，的方程分别为和且，，，则
，
，
，
.
∴直线的方程为
，即
.
又点
在线段上，∴.
∵P是
的中点，∴
∴
，
.
由于
，
不重合，所以
法二：设，，则
当直线的斜率为0时，不符合题意，故可设直线的方程为
联立直线和抛物线的方程
，得
又
，
为该方程两根，所以
，
，
，
.
，
由于，不重合，所以
【题目】为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查.经调查发现，这些家庭的月收入在3000元到10000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图：
（1）经统计发现，该社区居民的家庭月收入
（单位：百元）近似地服从正态分布
，其中
近似为样本平均数.若落在区间
的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭”，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径.若该社区
家庭月收入为4100元，试判断家庭是否属于“收入较低家庭”，并说明原因；
（2）将样本的频率视为总体的概率.
①从该社区所有家庭中随机抽取
户家庭，若这户家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%，求的最大值；
②在①的条件下，某生活超市赞助了该社区的这次调查活动，并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡的活动，赠送方式为：家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡，家庭月收入不低于的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为：
赠送购物卡金额（单位：元） | 100 | 200 | 300 |
概率 |
|
|
|
则家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数）
