题目内容
如图，线段AB，CD所在直线是异面直线，E，F，G，H分别是线段AC，CB，BD，DA的中点．
（1）求证：EFGH共面且AB∥面EFGH，CD∥面EFGH；
（2）设P，Q分别是AB和CD上任意一点，求证：PQ被平面EFGH平分．
（1）求证：EFGH共面且AB∥面EFGH，CD∥面EFGH；
（2）设P，Q分别是AB和CD上任意一点，求证：PQ被平面EFGH平分．
证明：（1）∵E，F，G，H分别是AC，CB，BD，DA的中点，
∴EH∥CD，FG∥CD，
∴EH∥FG，因此，E，F，G，H共面，
∵EH∥CD，
平面EFGH，EH
平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH。
（2）设PQ∩平面EFGH=N，连接PC，设PC∩EF=M，
△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，
∵CQ∥平面EFGH，
平面PCQ，
∴CQ∥MN，
∵EF是△ABC是的中位线，
∴M是PC的中点，则N是PQ的中点，即PQ被平面EFGH平分．
∴EH∥CD，FG∥CD，
∴EH∥FG，因此，E，F，G，H共面，
∵EH∥CD，
平面EFGH，EH平面EFGH， ∴CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH。
（2）设PQ∩平面EFGH=N，连接PC，设PC∩EF=M，
△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，
∵CQ∥平面EFGH，
平面PCQ，∴CQ∥MN，
∵EF是△ABC是的中位线，
∴M是PC的中点，则N是PQ的中点，即PQ被平面EFGH平分．
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