Question

已知函数 ，．

   (Ⅰ）当  时，求函数  的最小值；

   (Ⅱ）当  时，讨论函数  的单调性；

   (Ⅲ）求证：当 时，对任意的 ，且，有．

Answer 1

解：（Ⅰ）显然函数的定义域为，

当．

∴ 当，．

∴在时取得最小值，其最小值为 ．---------- 4分

（Ⅱ）∵，-----------5分

∴（1）当时，若为增函数；

为减函数；为增函数．

（2）当时，为增函数；

为减函数；为增函数．----- 9分

（Ⅲ）不妨设，要证明，即证明：

当时，函数．

     考查函数--------------------------------10分

             

              在上是增函数，---------------------12分

              对任意，

所以，命题得证----------14分