Question

6．某开山车制造公司，每天生产某型号的开山车x台（0＜x≤10，x∈N^*）时，每天销售收入函数f（x）=ax²+630lnx+15（单位：万元），其每天成本满足g（x）=20x-a（单位：万元）．已知该公司不生产这种型号的开山车时，其每天成本为5万元
（Ⅰ）求利润函数R（x）的解析式（单位：万元）；
（Ⅱ）问该公司每天生产多少辆大型开山车时，利润最大，最大利润是多少？（精确到0.1）
（参考数据ln7=1.95，ln8=2.08，ln9=2.20）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，x=0，a=-5，所以g（x）=20x-5，即可得到R（x）=f（x）-g（x）的解析式；
（Ⅱ）对R（x）求得导数，单调区间，可得极大值，且为最大值，计算即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）由题意，x=0，g（0）=-a=5，即a=-5，
所以g（x）=20x-5，
则R（x）=f（x）-g（x）=-5x²+630lnx+15-（20x-5）
=-5x²-20x+630lnx+20（0＜x≤10，x∈N^*）；
（Ⅱ）R（x）═-5x²-20x+630lnx+20的导数为
R′（x）=-10x-20+$\frac{630}{x}$=-$\frac{10（x+9）（x-7）}{x}$，
当7＜x＜10时，R′（x）＜0，R（x）递减；
当0＜x＜7时，R′（x）＞0，R（x）递增．
则R（x）在x=7处取得极大值，且为最大值，
可得R（7）=-5×49-20×7+630ln7+20≈863.5．
则该公司每天生产7辆大型开山车时，
利润最大，最大利润是863.5万元．

点评 本题考查函数在生产实际中的综合运用，考查函数的解析式的求法和最值的求法，注意运用导数，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．