Question

14．若数列A_n：a₁、a₂、…a_n（n≥2）满足|a_k+1-a_k|=d＞0（k=1，2，…，n-1），则称A_n为F数列，并记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n：
（1）写出所有满足a₁=0，S（A₄）≤0的F数列A₄；
（2）若a₁=-1，n=2016，证明：F数列是递减数列的充要条件是a_n=-2016d；
（3）对任意给定的正整数n（n≥2），且d∈N^*，是否存在a₁=0的F数列A_n，使得S（A_n）=0？如果存在，求出正整数n满足的条件，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对照F数列的条件和求和概念，即可得到；
（2）可先证明必要性：由递减数列的定义，得到A_n是首项为-1，公差为-1的等差数列．所以a₂₀₁₆=-1+（2016-1）×（-1）=-2016；再证充分性：由新定义推出a₂₀₁₆≥a₁-2015，又因为a₁=-1，a₂₀₁₆=2016，所以a₂₀₁₆=a₁-2015．得证；
（3）由a₁=0，|a_k+1-a_k|=d＞0，可得a₂=d或-d，然后不适一般性验证即可．

解答 （1）解：由题意，F数列A₄可以是0，d，0，-d或0，-d，0，d等；
（2）证明：必要性：因为F数列A₂₀₁₆是递减数列，
所以a_k+1-a_k=-1（k=1，2，…，2015）．            
所以A_n是首项为-1，公差为-1的等差数列．
所以a₂₀₁₆=-1+（2016-1）×（-1）=-2016．
充分性：由于a₂₀₁₆-a₂₀₁₅≥-1，
a₂₀₁₅-a₂₀₁₄≥-1
…
a₂-a₁≥-1                              
所以a₂₀₁₆-a₁≥-2015，即a₂₀₁₆≥a₁-2015，
又因为a₁=-1，a₂₀₁₆=2016，
所以a₂₀₁₆=a₁-2015．
故a_n+1-a_n=-1＜0（k=1，2，…，2015）即A_n是递减数列．
综上，结论得证；
（3）由a₁=0，|a_k+1-a_k|=d＞0，可得a₂=d或-d，
a₁=0，a₂=d，a₃=0，a₄=-d，S（A_n）=0；
a₁=0，a₂=d，a₃=2d，a₄=-d，a₅=0，a₆=-d，a₃=-2d，a₄=-d，S（A_n）=0
不适一般性，可得n=4k，k∈N^*，S（A_n）=0．

点评 本题考查新定义及理解，考查数列的运用，充分必要条件的证明，解题的关键在于对新定义的正确运用，属于难题．