Question

已知，，且
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ）求角β．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把所求式子的分母利用cos（+α）=-sinα诱导公式化简，分子第一个因式利用cos（π+α）=-cosα，第二个因式利用tan（π-α）=-tanα化简，第三个因式利用sin（-α）=cosα，利用同角三角函数间的基本关系变形，约分后再利用二倍角的余弦函数公式化简，把cosα的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由cosα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，由α和β的范围，求出α-β的范围，由cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α-β）的值，然后把所求的角β变形为α-（α-β），利用两角差的余弦函数公式表示出cos[α-（α-β）]即cosβ，把各自的值代入即可求出cosβ的值，根据β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出β的度数．
解答：解：（Ⅰ）∵cosα=，
∴
==-cos2α=1-2cos²α=；

（Ⅱ）由，，且，
得到sinα==，α-β∈（0，）则sin（α-β）=，
所以cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=×+×==，
则β=．
点评：此题综合考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，同时在求值时注意角度的范围，以及角β=α-（α-β）的灵活变换．