Question

已知函数f(x)=，g(x)=.

（1）证明：f(x)是奇函数；并求f(x)的单调区间.

（2）分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

Answer 1

答案：
解析：

（1）∵函数f(x)的定义域（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称， 又f(－x)= =－=－f(x). ∴f(x)是奇函数.设x1<x2，x1、x2∈(0,+∞)， f(x1)－f(x2)=－=(x1－x2)(1+). ∵x1－x2<0，1+>0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x)在（0，+∞）上单调递增. 又∵f(x)是奇函数，∴f(x)在（－∞，0）上也单调递增. （2）算得f(4)－5f(2)g(2)=0，f(9)－5f(3)g(3)=0. 由此概括出对所有不等于零的实数x有f(x2)－5f(x)g(x)=0. f(x2)－5f(x)g(x)= －5·· =(x－x)－(x－x)=0.