Question

已知函数f(x)=，记数列{a_n}的前n项和为S_n,且有a₁=f(1),当n≥2时，S_n- (n²+5n-2).

(1)计算a₁,a₂,a₃,a₄;

(2)求出数列{a_n}的通项公式，并给予证明.

Answer 1

解析:(1)S_n-=(n²+5n-2).?

∴S_n+a_n= (n²+5n+2).?

a₁=2,a₂=3,a₃=4,a₄=5.

(2)由(1)猜想a_n=n+1.?

①当n=1时，a₁=2，成立.?

②假设n=k时，成立，?

∴S_k=(k²+5k+2)-a_k,a_k=k+1.?

当n=k+1时，S_k+1=((k+1)²+5(k+1)+2)-a_k+1 ，?

∴S_k+1-S_k=a_k+1=(k²+7k+8-k²-5k-2)-a_k+1+a_k.?

∴2a_k+1= (2k+6)+a_k.

∴a_k+1=k+2=(k+1)+1.?

∴当n=k+1时,也成立.?

∴由①②得n∈N^*时等式均成立.