Question

10．已知数列{a_n}满足：a₁=m（m为正整数），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{2}，当{a_n}为偶数时\\ 3{a_n}+1，当{a_n}为奇数时\end{array}$若a₆=1，则m所有可能的取值的个数为3．

Answer 1

分析 a₆=1，可得a₅必为偶数，因此${a}_{6}=\frac{{a}_{5}}{2}$=1，解得a₅=2．当a₄为偶数时，${a}_{5}=\frac{{a}_{4}}{2}$，解得a₄=4；当a₄为奇数时，a₅=3a₄+1=2，解得a₄=$\frac{1}{3}$，舍去．依此类推即可得出．

解答 解：∵a₆=1，
∴a₅必为偶数，∴a₆=$\frac{{a}_{5}}{2}$=1，解得a₅=2．
当a₄为偶数时，a₅=$\frac{{a}_{4}}{2}$，解得a₄=4；当a₄为奇数时，a₅=3a₄+1=2，解得a₄=$\frac{1}{3}$，舍去．
∴a₄=4．
当a₃为偶数时，a₄=$\frac{{a}_{3}}{2}$=4，解得a₃=8；当a₃为奇数时，a₄=3a₃+1=4，解得a₃=1．
当a₃=8时，当a₂为偶数时，a₃=$\frac{{a}_{2}}{2}$，解得a₂=16；当a₂为奇数时，a₃=3a₂+1=8，解得a₂=$\frac{7}{3}$，舍去．
当a₃=1时，当a₂为偶数时，a₃=$\frac{{a}_{2}}{2}$=1，解得a₂=2；当a₂为奇数时，a₃=3a₂+1=1，解得a₂=0，舍去．
当a₂=16时，当a₁为偶数时，a₂=$\frac{{a}_{1}}{2}$=16，解得a₁=32=m；当a₁为奇数时，a₂=3a₁+1=16，解得a₁=5=m．
当a₂=2时，当a₁为偶数时，a₂=$\frac{{a}_{1}}{2}$=2，解得a₁=4=m；当a₁为奇数时，a₂=3a₁+1=2，解得a₁=$\frac{1}{3}$，舍去．
综上可得m=4，5，32．
故答案为：3．

点评 本题考查了分段函数求值、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．