Question

19．定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=0；②f（x）+f（1-x）=1；③f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；④当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂）．则f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{128}$．

Answer 1

分析 根据条件进行递推，利用两边夹的性质进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且①f（0）=0；③f（1-x）+f（x）=1，
令x=1可得f（1）=1．
∵f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；
∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$；
再由③可得f（$\frac{1}{3}$）+f（1-$\frac{1}{3}$）=1，故有f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
对于②f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；
由此可得 f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{27}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{8}$、f（$\frac{1}{81}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{27}$）=$\frac{1}{16}$、f（$\frac{1}{243}$）=$\frac{1}{32}$．f（$\frac{1}{729}$）=$\frac{1}{64}$，f（$\frac{1}{2187}$）=$\frac{1}{128}$
令x=$\frac{2}{3}$，由f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$，可得 f（$\frac{2}{9}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{2}{27}$）=$\frac{1}{8}$，f（$\frac{2}{81}$）=$\frac{1}{16}$，f（$\frac{2}{243}$）=$\frac{1}{32}$．f（$\frac{2}{729}$）=$\frac{1}{64}$，f（$\frac{2}{2187}$）=$\frac{1}{128}$
再$\frac{1}{2187}$＜$\frac{1}{2016}$＜$\frac{2}{2187}$，可得 $\frac{1}{128}$=f（$\frac{1}{2187}$）≤f（$\frac{1}{2016}$）≤f（$\frac{2}{2187}$）=$\frac{1}{128}$，
得f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{128}$，
故答案为 $\frac{1}{128}$

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，有一定的难度．