Question

如图，函数y=|x|在x∈[-1，1]的图象上有两点A，B，AB∥Ox轴，点M（1，m）（m是已知实数，且m＞）是△ABC的边BC的中点．
（1）写出用B的横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）的最大值，并求出相应的C点坐标．

Answer 1

解：（1）依题意，设B（t，t），A（-t，t）（t＞0），C（x₀，y₀）．
∵M是BC的中点，∴=1，=m，∴x₀=2-t，y₀=2m-t．
在△ABC中，|AB|=2t，AB边上的高h=y₀-t=2m-3t．
∴S=|AB|•h=•2t•（2m-3t）=-3t²+2mt，t∈（0，1]．
（2）S=-3t²+2mt=-3（t-）²+，t∈（0，1]．若，
即＜m≤3．当t=时，S_max=，相应的C点坐标是（2-，m）．
若＞1，即m＞3时，S=f（t）在区间（0，1]上是增函数，
∴S_max=f（1）=2m-3，相应的C点坐标是（1，2m-）．
分析：（1）欲求△ABC面积S，关键是求边AB的长及相应的高，依题意，设B（t，t），A（-t，t）（t＞0），C（x₀，y₀）．求出△ABC中边|AB|及AB边上的高h，再利用三角形的面积公式计算即得；
（2）先对函数式进行了配方得：S=-3t²+2mt=-3（t-）²+，t∈（0，1]．下面结合二次函数的图象与性质求解其最大值即可．
点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．属于基础题．