题目内容
因台风灾害，我省某水果基地龙眼树严重受损，为此有关专家提出两种拯救龙眼树的方案，每种方案都需分四年实施．若实施方案1，预计第三年可以使龙眼产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案2，预计第三年可以使龙眼产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第三年与第四年相互独立，令ξi（i=1，2）表示方案i实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数．（1）写出ξ1、ξ2的分布列；
（2）实施哪种方案，第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？
【答案】分析：（1）根据题意得到两个变量的可能取值，根据条件中所给的方案一和方案二的两年龙眼产量的变化有关数据写出两个变量的分布列．
（2）根据两种方案对应的数据，做出方案一、方案二两年后龙眼产量超过灾前产量的概率，得到结论：方案二两年后龙眼产量超过灾前产量的概率更大．
（3）根据两年后龙眼产量和灾前产量的比较，做出达不到灾前产量，达到灾前产量，超过灾前产量的概率，列出龙眼带来效益的分布列，做出期望．
解答：解：（1）ξ1的分布列为：
（3分）
ξ2的分布列为
（6分）
（2）由（1）可得ξ1＞1的概率P（ξ1＞1）=0.15+0.15=0.3，（7分）
ξ2＞1的概率P（ξ2＞1）=0.24+0.08=0.32，（8分）
∵P（ξ2＞1）＞P（ξ1＞1），
∴实施方案2，第四年产量超过灾前概率更大．（9分）
（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润A、利润B，根据题意，
利润A=（0.2+0.15）×10+0.35×15+（0.15+0.15）×20=14.75（万元） （10分）
利润B=（0.3+0.2）×10+0.18×15+（0.24+0.08）×20=14.1（万元） （11分）
∵利润A＞利润B，
∴实施方案1平均利润更大．（13分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查解决实际问题的能力，考查对题干较长的应用题的理解，是一个综合题．
（2）根据两种方案对应的数据，做出方案一、方案二两年后龙眼产量超过灾前产量的概率，得到结论：方案二两年后龙眼产量超过灾前产量的概率更大．
（3）根据两年后龙眼产量和灾前产量的比较，做出达不到灾前产量，达到灾前产量，超过灾前产量的概率，列出龙眼带来效益的分布列，做出期望．
解答：解：（1）ξ1的分布列为：
| ξ1 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | 1.125 | 1.25 |
| P1 | 0.2 | 0.15 | 0.35 | 0.15 | 0.15 |
ξ2的分布列为
| ξ2 | 0.8 | 0.96 | 1.0 | 1.2 | 1.44 |
| P2 | 0.3 | 0.2 | 0.18 | 0.24 | 0.08 |
（2）由（1）可得ξ1＞1的概率P（ξ1＞1）=0.15+0.15=0.3，（7分）
ξ2＞1的概率P（ξ2＞1）=0.24+0.08=0.32，（8分）
∵P（ξ2＞1）＞P（ξ1＞1），
∴实施方案2，第四年产量超过灾前概率更大．（9分）
（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润A、利润B，根据题意，
利润A=（0.2+0.15）×10+0.35×15+（0.15+0.15）×20=14.75（万元） （10分）
利润B=（0.3+0.2）×10+0.18×15+（0.24+0.08）×20=14.1（万元） （11分）
∵利润A＞利润B，
∴实施方案1平均利润更大．（13分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查解决实际问题的能力，考查对题干较长的应用题的理解，是一个综合题．
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