Question

【题目】已知函数.

（1）若是的极大值点，求的值；

（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)首先对函数进行求导，然后通过极大值点所对应的导函数值为0即可求出的值，最后通过检验即可得出结果；

(2)首先可以设方程并写出方程的导函数，然后将在上只有一个零点转化为在上只有一个零点，再利用方程的导函数求出方程的最小值，最后对方程的最小值与0之间的关系进行分类讨论即可得出结果。

(1)，

因为是的极大值点，所以，解得，

当时，，，

令，解得，

当时，，在上单调递减，又，

所以当时，；当时，，

故是的极大值点；

(2)令，，

在上只有一个零点即在上只有一个零点,

当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.

（Ⅰ）当，即时，时，在上只有一个零点，即在上只有一个零点.

（Ⅱ）当，即时，取，，

①若，即时，在和上各有一个零点，即在上有2个零点，不符合题意；

②当即时，只有在上有一个零点，即在上只有一个零点，

综上得，当时，在上只有一个零点。