题目内容

设函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。

本题主要考查导数的概念和计算、利用导数研究函数的单调性、利用单调性求最值以及不等式的性质。

解 (1) 若则列表如下


	+	0	-	-
	单调增	极大值	单调减	单调减

所以的单调增区间为，单调减区间为和 .

(2) 在两边取对数, 得 ,由于所以

(1)

由(1)的结果知,当时, ,

为使(1)式对所有成立,当且仅当,即

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（1）求函数y=T（sin（ $数学公式$ x））和y=sin（ $数学公式$ T（x））的解析式；
（2）是否存在非负实数a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^）
①当x∈[0， $数学公式$ ]时，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]（i∈N^，1≤i≤2ⁿ-1）时，都有T_n（x）=T_n（ $数学公式$ -x）恒成立．
②对于给定的正整数m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{x_n}（1≤n≤2^m），求数列{x_n}所有2^m项的和．

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x））和y=sin（

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（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①当x∈[0，

]时，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[

]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）时，都有T_n（x）=T_n（

-x）恒成立．
②对于给定的正整数m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{x_n}（1≤n≤2^m），求数列{x_n}所有2^m项的和．

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