题目内容
（2011•太原模拟）证明下列不等式：
（1）用分析法证明：
+
＞1+
；
（2）已知a，b，c是不全相等的正数，证明a2+b2+c2＞ab+bc+ca．
（1）用分析法证明：
| 3 |
| 8 |
| 10 |
（2）已知a，b，c是不全相等的正数，证明a2+b2+c2＞ab+bc+ca．
分析：（1）用分析法证明，两边平方，化简即可证得；
（2）利用作差法，再配方，即可得到结论．
（2）利用作差法，再配方，即可得到结论．
解答：证明：（1）要证：
+
＞1+
，
只需证明(
+
)2＞(1+
)2
即证11+2
＞11+2
只需证明
＞
即证24＞10，显然成立
∴
+
＞1+
成立；
（2）a2+b2+c2-（ab+bc+ca）=
[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]
∵a，b，c是不全相等的正数，
∴
[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]＞0
∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca．
| 3 |
| 8 |
| 10 |
只需证明(
| 3 |
| 8 |
| 10 |
即证11+2
| 24 |
| 10 |
只需证明
| 24 |
| 10 |
即证24＞10，显然成立
∴
| 3 |
| 8 |
| 10 |
（2）a2+b2+c2-（ab+bc+ca）=
| 1 |
| 2 |
∵a，b，c是不全相等的正数，
∴
| 1 |
| 2 |
∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca．
点评：本题考查不等式的证明，考查分析法与综合法的运用，属于中档题．
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