Question

已知函数f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性；
（3）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）由题意知x满足

x≠0 1+x 1-x ＞0

，由此解得函数的定义域．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
（3）先利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1）上是减函数，再根据奇函数的性质可得函数f（x）在（-1，0）内单调递减．

解答：解：（1）由题意知x满足

x≠0 1+x 1-x ＞0

，解得-1＜x＜1且x≠0，
则函数的定义域为 （-1，0）∪（0，1）． …（4分）
（2）函数的定义域关于原点对称且对定义域中的任意x，
有 f(-x)=-

1

x

-log2

1-x

1+x

=-(

1

x

-log2

1+x

1-x

)=-f(x)，
所以函数f（x）为奇函数．…（8分）
（3）任取 x₁，x₂∈（0，1），令 x₁＜x₂ ，
则有

f(x1)-f(x2)= 1 x1 -log2 1+x1 1-x1 - 1 x2 +log2 1+x2 1-x2

 
=（

1

x1

 -

1

x2

）+[log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)] 
=（

x2-x1

x1x2

）+[log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)]．
由 x₁＜x₂且 x₁，x₂∈（0，1），知

x2-x1

x1x2

＞0，log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)＞0，
故f（ x₁）-f（ x₂）＞0，即函数f（x）在x∈（0，1）内单调递减，
由（2）知函数f（x）为奇函数，则函数f（x）在（-1，0）内单调递减．…（13分）

点评：本题主要考查对数函数的单调性的判断和证明方法，对数型函数的定义域的求法，函数的奇偶性的应用，属于中档题