Question

3．不等式x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$的解集是（0，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据已知中不等式可得x＞0，结合指数函数和对数函数的单调性，分当0＜x＜1时，当x=1时和当x＞1时三种情况，求解满足条件的x值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：若使不等式x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$=x^-1有意义，x＞0，
当0＜x＜1时，原不等式可化为：${log}_{\frac{1}{2}}x＞-1={log}_{\frac{1}{2}}2$，解得：x＜2，
∴0＜x＜1；
当x=1时，x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$=$\frac{1}{x}$不满足已知中的不等式，
当x＞1时，原不等式可化为：${log}_{\frac{1}{2}}x＜-1={log}_{\frac{1}{2}}2$，解得：x＞2，
∴x＞2；
综上所述，不等式x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$的解集是（0，1）∪（2，+∞），
故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．

点评 本题考查的知识点是指数函数和对数函数的单调性，分类讨论思想，难度中档．