Question

如图1-3-16所示棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=a,且PD是四棱锥的高.

图1-3-16

(1)在这个四棱锥中放入一个球求球的最大半径;

(2)求四棱锥外接球的半径.

Answer 1

思路分析:(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大,即球心到各个面的距离均相等,联想到用体积法求解.(2)四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径,只要找出球心的位置即可.在Rt△PDB中,斜边PB的中点为F,则PF=FB=FD,只要证明FA=FC=FP即可.

解:(1)设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为S,连结SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R.

V_P—ABCD=·S_ABCD·PD=·a·a·a=a³,

S_△PAD=S_△PDC=·a·a=a²,

S_△PAB=S_△PBC=·a·a=a²,

S_ABCD=a².

V_P—ABCD=V_S—PDA+V_S—PDC+V_S—ABCD+V_S—PAB+V_S—PBC,

a³=R(S_△PAD+S_△PDC+S_△PAB+S_△PBC+S_ABCD),

a³=R(a²+a²+a²+a²+a²),

所以(2+)a²=a³,

R=a=(1-)a,

即球的最大半径为(1-)a.

(2)设PB的中点为F.

因为在Rt△PDB中,FP=FB=FD,

在Rt△PAB中,FA=FP=FB,

在Rt△PBC中,FP=FB=FC,

所以FP=FB=FA=FC=FD.

所以F为四棱锥外接球的球心,

则FP为外接球的半径.

因为FB=PB,所以FB=a,

所以四棱锥外接球的半径为a.