题目内容

在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边， $数学公式$ =（2b-c，cosC）， $数学公式$ =（a，cosA），且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
（1）求角A的大小；
（2）当 $数学公式$ ＜B＜ $数学公式$ 时，求函数y=2sin²B+cos（ $数学公式$ -2B）的值域．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（2b-c，cosC）， $\text{[math]}$ =（a，cosA），且 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$
∴（2b-c）cosA=acosC即（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0（2分）
化简，得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）
∵A+B+C=π，
∴2sinBcosA=sin（π-B）=sinB…（4分）
∵在锐角三角形ABC中，sinB＞0
∴两边约去sinB，得cosA= $\text{[math]}$ ，
结合A是三角形的内角，得A= $\text{[math]}$ …（6分）
（2）∵锐角三角形ABC中，A= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜B＜ $\text{[math]}$ …（7分）
∴y=2sin²B+cos（ $\text{[math]}$ -2B）=1-cos2B+ $\text{[math]}$ cos2B+ $\text{[math]}$ sin2B
=1+ $\text{[math]}$ sin2B- $\text{[math]}$ cos2B=1+sin（2B- $\text{[math]}$ ）…（9分）
∵ $\text{[math]}$ ＜B＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜2B- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜sin（2B- $\text{[math]}$ ）≤1，可得 $\text{[math]}$ ＜y≤2
∴函数y=2sin²B+cos（ $\text{[math]}$ -2B）的值域为（ $\text{[math]}$ ，2]．…（12分）
分析：（1）根据向量平行的充要条件列式：（2b-c）cosA=acosC，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2sinBcosA=sin（A+C），最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA= $\text{[math]}$ ，从而得到角A的大小；
（2）将函数用降次公式与两角差的余弦公式展开，化简整理得y=1+sin（2B- $\text{[math]}$ ），结合A= $\text{[math]}$ 讨论锐角B的范围，从而得到2B- $\text{[math]}$ 的取值范围，由此不难得到函数y=2sin²B+cos（ $\text{[math]}$ -2B）的值域．
点评：本题给出向量平行，通过列式化简求A的大小，并求关于B的三角式的取值范围．着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识，属于中档题．