题目内容

求证：y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b（a，b，c是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．
证明：假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，
则有
△1=4b2-4ac≤0
△2=4c2-4ab≤0
△3=4a2-4bc≤0
三式相加，得a2+b2+c2-ab-ac-bc≤0?（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0．
∴a=b=c与a，b，c是互不相等的实数矛盾，
∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数y=ax2+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．
（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点．
（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：
3
＜l＜2
3
．
已知三个函数y=sinx+1，y=
x2-2x+2+t
，y=
1
2
(x+
1-t
x
)(x＞0)，它们各自的最小值恰好是函数
f（x）=x3+ax2+bx+c的三个零点（其中t是常数，且0＜t＜1）
（1）求证：a2=2b+2
（2）设f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点分别为（x1，m），（x2，n），若|x1-x2|=
6
3
，求f（x）．
已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上有两点A1（m1，y1），A2（m2，y2），满足a2+（y1+y2）a+y1•y2=0．
求证：
（1）存在i∈{1，2}，使yi=-a；
（2）抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点；
（3）若使该图象与x轴交点为（x1，0）（x2，0），（x1＜x2），则存在i∈{1，2}，使x1＜mi＜x2．
（2012•梅州一模）数列{bn}的首项b1=1，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，点（n，Sn），（4，10）都在二次函数y=ax2+bx的图象上，数列{an}满足
bn
an
=2n．
（1）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）令cn=（1-
1
n+1
）-
1
an
，Rn=
1
c1
+
1
c2
+
1
c3
+…+
1
cn
，求对?n∈N*，m＞Rn都成立的最小正整数m．
已知a是正整数，抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，4），B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点．
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）求证：此抛物线的最低点的纵坐标不超过-
178
．

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