Question

（2012•梅州一模）数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为Sn，对任意的n∈N^*，点（n，S_n），（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上，数列{a_n}满足

bn

an

=2ⁿ．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=（1-

1

n+1

）-

1

an

，R_n=

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

，求对?n∈N^*，m＞R_n都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）由点（1，1），（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上，可求a，b，进而可求S_n，利用递推公式b_n=S_n-S_n-1可求b_n，结合

bn

an

=2n，可求a_n
（2）由c_n=（1-

1

n+1

）-

1

an

=

2n

n+1

可得

1

Cn

=

n+1

2n

，可考虑利用错位相减法求解数列的和R_n，然后由R_n的范围可求m的范围

解答：（1）证明：∵b₁=1，
∴S₁=1
∴点（1，1），（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上，
∴

a+b=1 16a+4b=10

，解得：a=

1

2

，b=

1

2

         …（1分）
∴Sn=

1

2

n2+

1

2

n                                     …（2分）
则n≥2时，Sn-1=

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)
∴b_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

1

2

n-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=n
又b₁=1也适合，所以b_n=n，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列                       …（6分）
又

bn

an

=2n，
∴an=

n

2n

                                    …（7分）
（2）∵c_n=（1-

1

n+1

）-

1

an

=

2n

n+1

∴

1

Cn

=

n+1

2n

…（8分）
∴R_n=

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

2

2

+

3

22

+…+

n+1

2n

①
∴

1

2

Rn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

②
两式相减，得：

1

2

Rn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

，
∴Rn=2-

n+3

2n

…（12分）
∵

3+n

2n

＞0
∴R_n＜3
∴m=3                  …（14分）

点评：本题主要考查了等差数列的判断，数列的递推公式在数列的通项公式的求解中的应用，错位相减求 数列的和方法的 应用．