Question

已知三个函数y=sinx+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

(x+

1-t

x

)(x＞0)，它们各自的最小值恰好是函数
f（x）=x³+ax²+bx+c的三个零点（其中t是常数，且0＜t＜1）
（1）求证：a²=2b+2
（2）设f（x）=x³+ax²+bx+c的两个极值点分别为（x₁，m），（x₂，n），若|x1-x2|=

6

3

，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）求出三个函数y=sinx+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

(x+

1-t

x

)(x＞0)的最小值，并代入f（x）=x³+ax²+bx+c，求得c=0，且方程x²+ax+b=0的两根是

1+t

，

1-t

，利用韦达定理即可证得结论；
（2）求导，根据题意方程f′（x）=0的两个根为x₁，x₂，利用韦达定理求出b，a²=2b+2=3，解方程即可求得a值，从而求得f（x）．

解答：解：（1）三个函数的最小值依次为0，

1+t

，

1-t

由f（0）=0∴c=0
∴f（x）=x（x²+ax+b），故方程x²+ax+b=0的两根是

1+t

，

1-t

1+t + 1-t =-a 1+t • 1-t =b

，
由(

1+t

+

1-t

)2=(-a)2
∴a²=2b+26
（2）f′（x）=3x²+2ax+b，方程f′（x）=0的两个根为x₁，x₂
∴x1+x2=-

2

3

，x1x2=

b

3

且△＞0得4a²-4•3b＞0，b＜2
由|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( -2a 3 )2-4 b 3

=

2

3

2-b

=

6

3

∴b=

1

2

，∴a²=2b+2=3
由

1+t

+

1-t

=-a＞0

&∴a＜0，

∴a=-

3

∴f(x)=x3-

3

x2+

1

2

点评：此题考查函数的最值和利用导数研究函数的极值，在解题时注意韦达定理的应用，体现了方程的思想，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．