题目内容
20．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为l时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）| A． | （1，$\sqrt{2}$） | B． | （1，$\sqrt{10}$） | C． | （$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$） | D． | （$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$） |
分析 斜率为1的直线l过双曲线C1的右焦点，且与双曲线C1左右支各有一个交点，可得$\frac{b}{a}$＞1，再利用离心率的计算公式即可得出e＞$\sqrt{2}$；再由直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则$\frac{b}{a}$＜3，求得e＜$\sqrt{10}$．进而得到所求范围．
解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由斜率为1的直线l过双曲线C1的右焦点，
且与双曲线C1左右支各有一个交点，
则$\frac{b}{a}$＞1，即b2＞a2，c2＞2a2，
可得e＞$\sqrt{2}$；
又当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，
则$\frac{b}{a}$＜3，即即b2＜9a2，c2＜10a2，
可得e＜$\sqrt{10}$．
综上可得，$\sqrt{2}$＜e＜$\sqrt{10}$．
故选：C．
点评 本题考查离心率的范围，注意运用渐近线的斜率与直线的斜率的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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15．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}={1^{\;}}（{a＞b＞0}）$右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线与两渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为$\frac{{6{a^2}}}{5}$，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{13}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$ |
5．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）经过等腰梯形ABCD的上底的两个顶点C、D，下底的两个顶点A、B分别为双曲线的左、右焦点，对角线AC与双曲线的左支交于点E，且3|AE|=2|EC|，|AB|=2|CD|，则该双曲线的离心率是（ ）
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | $\sqrt{7}$ |