题目内容
（2013•日照一模）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：
（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，
（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．
| 测试指标 | [70，76） | [76，82） | [82，88） | [88，94） | [94，100] |
| 芯片甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
| 芯片乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，
（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．
分析：（Ⅰ）分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解
（Ⅱ）（ⅰ）先判断随机变量X的所有取值情况有90，45，30，-15．，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值
（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5-n件．由题意，得 50n-10（5-n）≥140，解不等式可求n
，然后利用独立事件恰好发生k次的概率公式即可求解
（Ⅱ）（ⅰ）先判断随机变量X的所有取值情况有90，45，30，-15．，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值
（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5-n件．由题意，得 50n-10（5-n）≥140，解不等式可求n
，然后利用独立事件恰好发生k次的概率公式即可求解
解答：解：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为
=
，
芯片乙为合格品的概率约为
=
． …（3分）
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，-15.P(X=90)=
×
=
； P(X=45)=
×
=
；P(X=30)=
×
=
； P(X=-15)=
×
=
．
所以，随机变量X的分布列为：
EX=90×
+45×
+30×
+(-15)×
=66． …（8分）
（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5-n件．
依题意，得 50n-10（5-n）≥140，解得 n≥
．
所以 n=4，或n=5．
设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，
则 P(A)=
(
)4×
+(
)5=
． …（12分）
| 40+32+8 |
| 100 |
| 4 |
| 5 |
芯片乙为合格品的概率约为
| 40+29+6 |
| 100 |
| 3 |
| 4 |
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，-15.P(X=90)=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 20 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 20 |
所以，随机变量X的分布列为：
| X | 90 | 45 | 30 | -15 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 20 |
（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5-n件．
依题意，得 50n-10（5-n）≥140，解得 n≥
| 19 |
| 6 |
所以 n=4，或n=5．
设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，
则 P(A)=
| C | 4 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 81 |
| 128 |
点评：本题主要考查了等可能事件的概率求解及离散型随机变量的分布列及数学期望值的求解，属于概率知识的简单综合
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