Question

（2009•河西区二模）一个袋中装有大小相同的白球和黑球共10个，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是

13

15

．
（I）求原来袋中白球的个数；
（Ⅱ）从原来袋中任意摸出3个球，记得到黑球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）解法一：设袋中有白球x个，由题意得

C 1 x C 1 10-x + C 2 x

C 2 10

=

13

15

，解方程可得答案
解法二：设黑球有x个，则全是黑球的概率为

2

15

，由

C 2 x

C 2 10

=

2

5

，解方程可得答案
（II）根据（I）中结论，可得ξ取值可能为0，1，2，3，求出变量的分布列后，代入期望公式，可得答案．

解答：解法一：（I）设袋中有白球x个，由题意得

C 1 x C 1 10-x + C 2 x

C 2 10

=

13

15

，
即x(10-x)+

x(x-1)

2

=39
解得x=6或x=13（舍），故有白球6个
解法二（I）设黑球有x个，则全是黑球的概率为

2

15

，由

C 2 x

C 2 10

=

2

5

即x（x-1）=12，解得x=4或x=-3（舍），故有黑球4个，白球6个
（Ⅱ）P(ξ=0)=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

，P(ξ=1)=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，P(ξ=2)=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P(ξ=3)=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

故分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 6	1 2	3 10	1 30

数学期望Eξ=

1

6

×0+

1

2

×1+

3

10

×2+

1

30

×30=

6

5

点评：本题考查的知识点是离散型随机变量的分布列及数学期望，等可能事件的概率，其中求出白球的个数是解答的关键．