Question

如图，设扇形的半径为x，弧长为y．
（1）当该扇形的面积为常数S时，问半径x是多少时扇形的周长最小？并求出最小值；
（2）当该扇形的周长为常数P时，问半径x是多少时扇形的面积最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）先表示出S=

1

2

xy，然后表示出周长Z=2x+y，最后由均值不等式求的答案．
（2）先表示出2x+y=P，然后T=

1

2

xy，利用均值不等式求出结果．

解答：解：（1）由题意得S=

1

2

xy，即xy=2S．（2分）
设扇形的周长为Z，则Z=2x+y≥2

2xy

=4

S

，（5分）
当且仅当2x=y，即x=

S

，y=2

S

时，Z可以取到最小值，最小值为4

S

．（7分）
（2）由题意得2x+y=P．（9分）
设扇形的面积为T，则T=

1

2

xy=

1

4

(2x)y≤

1

4

(

2x+y

2

)2=

P2

16

，（12分）
当且仅当2x=y，即x=

P

4

，y=

P

2

时，T可以取到最大值，最大值为

P2

16

．（14分）

点评：此题考查了扇形的面积以及均值不等式的运用，属于中档题．