Question

（08年西安交大附中五模文） 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D为侧面ABB₁A₁的中心，E为BC的中点．

（1）求证：平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁；

（2）求异面直线A₁B与B₁E所成的角；

（3）求点C₁到平面DB₁E的距离．

Answer 1

解析：（1）连结AE．∵AB＝AC，且E为BC的中点，∴AE⊥BC．∵BB₁⊥平面ABC,

∴AE⊥BB₁，∴AE⊥平面BCC₁B₁，∴平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁．                                

（2）延长AB至F，使AB＝BF，连结B₁F、EF．

在△EBF中，．，

．在△EB₁F中，，

∴∠EB₁F＝．

∵B₁F∥A₁B，∴∠EB₁F即为异面直线A₁B与B₁E所成的角．

故异面直线A₁B与B₁E所成的角为．                                                

（3）作C₁H⊥B₁E于H．∵平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁，∴C₁H⊥平面DB₁E，∴C₁H的长即为点C₁到平面DB₁E的距离．∵△B₁ H C₁∽△B₁BE，∴，∴．故点C₁到平面DB₁E的距离为．