Question

（2013•浙江模拟）已知正项数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足an=

Sn

+

sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求证：{

Sn

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N^*，不等式4T_n＜a²-a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，sn-sn-1=

sn

+

sn-1

，结合等差数列的通项公式可求s_n，进而可求a_n
（II）由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和可求T_n，求出T_n的范围可求a的范围

解答：解：（I）∵an=

Sn

+

sn-1

∴sn-sn-1=

sn

+

sn-1

∴

sn

-

sn-1

=1
∴数列{

sn

}是首项为1，公差为1的等差数列
∴

sn

=1+(n-1)=n
∴sn=n2
∴an=

sn

+

sn-1

=n+n-1=2n-1（n≥2）
当n=1时，a₁=1也适合
∴a_n=2n-1
（II）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

∴T_n＜

1

2

∵4T_n＜a²-a恒成立
∴2≤a²-a，解得a≥2或a≤-1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．