Question

9．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2b-1}{x}+b+3，x＞1}\\{-{x}^{2}+（2-b）x，x≤1}\end{array}\right.$在x∈R内满足：对于任意的实数x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＞0成立，则实数b的取值范围为[-$\frac{1}{4}$，0]．

Answer 1

分析 由增函数的定义知，此函数是一个增函数，由此关系得出a的取值范围．

解答 解：若函数f（x）在x∈R内满足：
对于任意的实数x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＞0成立，
则f（x）在R上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b-1+b+3≥-1+2-b}\\{\frac{2-b}{2}≥1}\\{2b-1＜0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{4}$≤b≤0，
故答案为：[-$\frac{1}{4}$，0]．

点评 本题考查函数的连续性，解题本题关键是根据题设中的条件得出函数是一个增函数，再有增函数的图象特征得出参数所满足的不等式，这是此类题转化常的方式，本题考查了推理论证的能力及转化的思想．