Question

已知函数f(x)=

1

2

-

1

2x+1

（1）证明：f（x）为奇函数
（2）证明：f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，根据奇函数和偶函数的定义，即可证明f（x）为奇函数；
（2）设x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁），化简到能判断符号为止，根据f（x₂）-f（x₁）的符号，结合函数单调性的定义，即可证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，
∴f（x）的定义域为R，关于原点对称，
又∵f（-x）=

1

2

-

1

2-x+1

=

1

2

-

1

1 2x +1

=

1

2

-

2x

2x+1

=

1

2

-

2x+1-1

2x+1

=

1

2x+1

-

1

2

=-（

1

2

-

1

2x+1

）=-f（x），
根据奇函数的定义，可得f（x）为奇函数，
（2）设x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）=

1

2

-

1

2x2+1

-

1

2

+

1

2x1+1

=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2+1-(2x1+1)

(2x2+1)(2x1+1)

=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，2x2+1＞0，2x1+1＞0，
∴

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．