Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，且Q为AD的中点．PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=$\frac{1}{3}$PC，若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥M-PQB的体积．

Answer 1

分析 （1））由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
（2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用锥体体积公式求出．

解答 （I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，
∵PM=$\frac{1}{3}$PC，∴点M到平面PQB的距离d=$\frac{2}{3}$，
∴三棱锥M-PQB的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求锥体体积，着重考查了平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识，属于中档题．