Question

在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是（　　）

A．9

B．10

C．11

D．12

Answer 1

分析：利用正三棱锥P-ABC的侧面展开图，即可将求△ADE的周长的最小值问题转化为求展开图中线段的长的问题，进而在三角形中利用解三角形的知识计算即可

解答：解：此正三棱锥的侧面展开图如图：则△ADE的周长为AD+DE+EA′，由于两点之间线段最短，
∴当D、E处于如图位置时，截面△ADE的周长最小，即为AA′的长
设∠APB=α，过P作PO⊥AA′，则O为AA′中点，∠APO=

3α

2

，
在等腰三角形PAB中，sin

α

2

=

2

8

=

1

4

，cos

α

2

=

15

4

∴cosα=1-2sin²

α

2

=

7

8

，sinα=2sin

α

2

•cos

α

2

=

15

8

∴sin

3α

2

=sin（α+

α

2

）=sinαcos

α

2

+cosαsin

α

2

=

15

8

×

15

4

+

7

8

×

1

4

=

11

16

∴AA′=2AO=2AP×sin

3α

2

=16×

11

16

=11
故选C

点评：本题考查了利用几何体的侧面展开图求截面周长最值的方法，利用三角变换公式解三角形的技巧，空间问题转化为平面问题的思想方法