Question

已知函数f（x）=x²+lnx-ax在（0，1）上是增函数．
（1）求a的取值范围；
（2）设g（x）=e^2x-ae^x-1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出函数的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范围．
（2）通过函数将函数转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值．
解答：解：（1），
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴在（0，1）上恒成立，
即恒成立，
∴只需即可．
∴（当且仅当时取等号），
∴
（2）设e^x=t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．
设，
其对称轴为 ，由（1）得，
∴
则当，即时，h（t）的最小值为
当，即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）=-a
所以，当时，g（x）的最小值为，
当a＜2时，g（x）的最小值为-a
点评：解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值；通过换元法解题时，一定注意新变量的范围．