Question

长为2的线段AB的两个端点在抛物线y²=x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是

3

4

．

Answer 1

分析：设A、B、M抛物线的准线上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD、MN．根据梯形中位线定理证出|MN|=

1

2

（|AC|+|BD|），利用抛物线的定义得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|，由此结合平面几何的知识证出|MN|≥

1

2

|AB|=1，即可求出AB中点M到y轴距离的最小值．

解答：解：设抛物线的准线为l，A、B、M在l上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD、MN．
由梯形的中位线定理，可得|MN|=

1

2

（|AC|+|BD|）
连结AF、BF，根据抛物线的定义得|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
根据平面几何知识，可得|AF|+|BF|≥|AB|，
当且仅当点F在AB上时取等号
∴|AC|+|BD|≥|AB|=2，
可得|MN|=

1

2

（|AC|+|BD|）≥

1

2

|AB|=1
设M的横坐标为a，则|MN|=a+

1

4

≥1，得a≥

3

4

．
因此，当且仅当线段AB为抛物线经过焦点的弦时，
AB中点M到y轴距离的最小值为

3

4

故答案为：

3

4

点评：本题给出抛物线长度为2的弦，当弦在抛物线上滑动时求它的中点到y轴的最小距离．着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．